Lie Groups, Lie Algebras, and Representations

An Elementary Introduction

Author: Brian Hall,Brian C.. Hall

Publisher: Springer Science & Business Media

ISBN: 9780387401225

Category: Mathematics

Page: 351

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This book addresses Lie groups, Lie algebras, and representation theory. The author restricts attention to matrix Lie groups and Lie algebras. This approach keeps the discussion concrete, allows the reader to get to the heart of the subject quickly, and covers all of the most interesting examples.From the reviews:"Sure to become a standard textbook for graduate students in mathematics and physics with little or no prior exposure to Lie theory." --L'Enseignement Mathematique
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Lineare Darstellungen endlicher Gruppen

Author: Jean Pierre Serre

Publisher: Vieweg+Teubner Verlag

ISBN: 9783528035563

Category: Mathematics

Page: 102

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Dieses Buch besteht aus 16 Paragraphen, die in Niveau und Zielstel lung ziemlich unterschiedlich sind: Die Paragraphen 1-5 sind auf die Bediirfnisse der theoretischen Chemiker zugeschnitten. Sie legen den auf F'ROBENIUS zuriickgehenden Zusammen hang dar, der zwischen linearen Darstellungen und Charakteren besteht. Es handelt sich hierbei urn grundlegende Ergebnisse, die nicht nur in der Mathematik, sondern auch in der Quantenchemie oder in der Physik standige Anwendung finden. lch habe versucht, hiervon moglichst ele mentare Beweise zu geben, ohne mehr als die Gruppendefinition und die einfachsten Sachverhalte aus der linearen Algebra heranzuziehen. Ais Beispiele (§ 5) sind solche gewahlt, die fUr die Chemiker von Nutzen sind. Die Paragraphen 6-12 geben den lnhalt eines Kurses wieder, den ich 1966 fUr die Stundenten des zweiten Studienjahres der Ecole Normale gehalten habe. Sie vervollstandigen §§ 1 bis 5 in folgenden Punkten: a) Grade der Darstellungen und Ganzheitseigenschaften der Charaktere (§ 6). b) lnduzierte Darstellungen, Satze von ABTIN und von BRAUER so wie Anwendungen (§§ 7 bis ll). c) Darstellungen iiber einen Korper der Charakteristik Null (§ 12). Die verwendeten Hilfsmittel sind hierbei die der linearen Algebra (in einem weiteren Sinne als in §§ 1 bis 5); Gruppenalgebren, Moduln, nicht kommutative Tensorprodukte, halbeinfache Algebren. Der zweite Teil ist der Text einer Seminarausarbeitung iiber die BRAUER sche Theorie: Dbergang von der Charakteristik 0 zur Charakteristik p (und umgekehrt). lch bediene mich hierbei ungezwungen der Sprache der ABELSchen Kategorien (projektive Objekte, GROTHENDIEcK-Gruppen), die dieser Fragestellung gut angepaBt ist.
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Reelle und Komplexe Analysis

Author: Walter Rudin

Publisher: Walter de Gruyter

ISBN: 9783486591866

Category: Analysis - Lehrbuch

Page: 499

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Besonderen Wert legt Rudin darauf, dem Leser die Zusammenhänge unterschiedlicher Bereiche der Analysis zu vermitteln und so die Grundlage für ein umfassenderes Verständnis zu schaffen. Das Werk zeichnet sich durch seine wissenschaftliche Prägnanz und Genauigkeit aus und hat damit die Entwicklung der modernen Analysis in nachhaltiger Art und Weise beeinflusst. Der "Baby-Rudin" gehört weltweit zu den beliebtesten Lehrbüchern der Analysis und ist in 13 Sprachen übersetzt. 1993 wurde es mit dem renommierten Steele Prize for Mathematical Exposition der American Mathematical Society ausgezeichnet. Übersetzt von Uwe Krieg.
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Maß und Kategorie

Author: J.C. Oxtoby

Publisher: Springer-Verlag

ISBN: 364296074X

Category: Mathematics

Page: 112

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Dieses Buch behandelt hauptsächlich zwei Themenkreise: Der Bairesche Kategorie-Satz als Hilfsmittel für Existenzbeweise sowie Die "Dualität" zwischen Maß und Kategorie. Die Kategorie-Methode wird durch viele typische Anwendungen erläutert; die Analogie, die zwischen Maß und Kategorie besteht, wird nach den verschiedensten Richtungen hin genauer untersucht. Hierzu findet der Leser eine kurze Einführung in die Grundlagen der metrischen Topologie; außerdem werden grundlegende Eigenschaften des Lebesgue schen Maßes hergeleitet. Es zeigt sich, daß die Lebesguesche Integrationstheorie für unsere Zwecke nicht erforderlich ist, sondern daß das Riemannsche Integral ausreicht. Weiter werden einige Begriffe aus der allgemeinen Maßtheorie und Topologie eingeführt; dies geschieht jedoch nicht nur der größeren Allgemeinheit wegen. Es erübrigt sich fast zu erwähnen, daß sich die Bezeichnung "Kategorie" stets auf "Bairesche Kategorie" be zieht; sie hat nichts zu tun mit dem in der homologischen Algebra verwendeten Begriff der Kategorie. Beim Leser werden lediglich grundlegende Kenntnisse aus der Analysis und eine gewisse Vertrautheit mit der Mengenlehre vorausgesetzt. Für die hier untersuchten Probleme bietet sich in natürlicher Weise die mengentheoretische Formulierung an. Das vorlie gende Buch ist als Einführung in dieses Gebiet der Analysis gedacht. Man könnte es als Ergänzung zur üblichen Grundvorlesung über reelle Analysis, als Grundlage für ein Se minar oder auch zum selbständigen Studium verwenden. Bei diesem Buch handelt es sich vorwiegend um eine zusammenfassende Darstellung; jedoch finden sich in ihm auch einige Verfeinerungen bekannter Resultate, namentlich Satz 15.6 und Aussage 20.4. Das Literaturverzeichnis erhebt keinen Anspruch auf Vollständigkeit. Häufig werden Werke zitiert, die weitere Literaturangaben enthalten.
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Differentialgeometrie, Topologie und Physik

Author: Mikio Nakahara

Publisher: Springer-Verlag

ISBN: 3662453002

Category: Science

Page: 597

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Differentialgeometrie und Topologie sind wichtige Werkzeuge für die Theoretische Physik. Insbesondere finden sie Anwendung in den Gebieten der Astrophysik, der Teilchen- und Festkörperphysik. Das vorliegende beliebte Buch, das nun erstmals ins Deutsche übersetzt wurde, ist eine ideale Einführung für Masterstudenten und Forscher im Bereich der theoretischen und mathematischen Physik. - Im ersten Kapitel bietet das Buch einen Überblick über die Pfadintegralmethode und Eichtheorien. - Kapitel 2 beschäftigt sich mit den mathematischen Grundlagen von Abbildungen, Vektorräumen und der Topologie. - Die folgenden Kapitel beschäftigen sich mit fortgeschritteneren Konzepten der Geometrie und Topologie und diskutieren auch deren Anwendungen im Bereich der Flüssigkristalle, bei suprafluidem Helium, in der ART und der bosonischen Stringtheorie. - Daran anschließend findet eine Zusammenführung von Geometrie und Topologie statt: es geht um Faserbündel, characteristische Klassen und Indextheoreme (u.a. in Anwendung auf die supersymmetrische Quantenmechanik). - Die letzten beiden Kapitel widmen sich der spannendsten Anwendung von Geometrie und Topologie in der modernen Physik, nämlich den Eichfeldtheorien und der Analyse der Polakov'schen bosonischen Stringtheorie aus einer gemetrischen Perspektive. Mikio Nakahara studierte an der Universität Kyoto und am King’s in London Physik sowie klassische und Quantengravitationstheorie. Heute ist er Physikprofessor an der Kinki-Universität in Osaka (Japan), wo er u. a. über topologische Quantencomputer forscht. Diese Buch entstand aus einer Vorlesung, die er während Forschungsaufenthalten an der University of Sussex und an der Helsinki University of Sussex gehalten hat.
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Matrizen und Lie-Gruppen

Eine geometrische Einführung

Author: Wolfgang Kühnel

Publisher: Springer-Verlag

ISBN: 3834899054

Category: Mathematics

Page: 224

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Dies ist eine Einführung in die mathematische Theorie der Lie-Gruppen. Etwa die erste Hälfte des Buches handelt von Matrizengruppen. Abstrakte Konzepte (auch Mannigfaltigkeiten) werden erst in der zweiten Hälfte vorgestellt. Zur Motivation und zum besseren historischen Verständnis sind kurze Texte klassischer Autoren (wie Sophus Lie selbst) mit eingeflochten. Außerdem gibt es zur Anschaulichkeit ein eigenes Kapitel, das ausschließlich von diversen geometrischen Transformationsgruppen handelt. Dabei wird konkret auf die klassischen Geometrien eingegangen. Als Vorkenntnisse werden nur die üblichen Studieninhalte des ersten Jahres im Mathematik- oder Physik-Studium vorausgesetzt, soweit sie die Analysis und die Lineare Algebra betreffen. Das Buch beginnt damit auf sehr elementarem Niveau. Alles andere wird nicht nur eingeführt, sondern alle Sätze werden auch bewiesen. Auf Verständlichkeit wird großen Wert gelegt. Daher eignet sich das Buch insbesondere als Begleittext zu Lehrveranstaltungen (auch Proseminaren) in den Bachelor-Studiengängen, aber auch im Lehramtsstudium und zum Selbststudium. Das Buch enthält zahlreiche Übungsaufgaben mit Lösungshinweisen oder vollständiger Lösung.
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Lie-Gruppen und Lie-Algebren

Author: Joachim Hilgert,Karl-Hermann Neeb

Publisher: Springer-Verlag

ISBN: 3322802701

Category: Education

Page: 361

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Dieses Buch versteht sich als Einführung in die Theorie der Lie-Gruppen. Der Begriff der Lie-Gruppen wird ausgehend von den einfachsten Beispielen, den Matrizengruppen, entwickelt. Eine große Anzahl von Problemen für Lie-Gruppen kann man durch Übertragung auf die zugehörigen Lie-Algebren lösen. Dies ist der Leitgedanke des Buches. Vorausgesetzt werden Kenntnisse in der Linearen Algebra, der Differentialrechnung mehrerer Variablen und der elementaren Gruppentheorie.
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An Introduction to Lie Groups and Lie Algebras

Author: Alexander Kirillov

Publisher: Cambridge University Press

ISBN: 0521889693

Category: Mathematics

Page: 222

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This book is an introduction to semisimple Lie algebras; concise and informal, with numerous exercises and examples.
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Lie Groups

An Introduction Through Linear Groups

Author: Wulf Rossmann

Publisher: Oxford University Press on Demand

ISBN: 9780199202515

Category: Mathematics

Page: 265

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Lie Groups is intended as an introduction to the theory of Lie groups and their representations at the advanced undergraduate or beginning graduate level. It covers the essentials of the subject starting from basic undergraduate mathematics. The correspondence between linear Lie groups and Lie algebras is developed in its local and global aspects. The classical groups are analysed in detail, first with elementary matrix methods, then with the help of the structural tools typical of thetheory of semisimple groups, such as Cartan subgroups, roots, weights, and reflections. The fundamental groups of the classical groups are worked out as an application of these methods. Manifolds are introduced when needed, in connection with homogeneous spaces, and the elements of differential and integral calculus on manifolds are presented, with special emphasis on integration on groups and homogeneous spaces. Representation theory starts from first principles, such as Schur's lemma and its consequences, and proceeds from there to the Peter-Weyl theorem, Weyl's character formula, and the Borel-Weil theorem, all in the context of linear groups.
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Special Relativity

Author: Nicholas M.J. Woodhouse

Publisher: Springer-Verlag

ISBN: 3540466762

Category: Science

Page: 88

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Introduction to Lie Algebras and Representation Theory

Author: JAMES HUMPHREYS

Publisher: Springer Science & Business Media

ISBN: 9780387900537

Category: Mathematics

Page: 173

View: 7883

This book is designed to introduce the reader to the theory of semisimple Lie algebras over an algebraically closed field of characteristic 0, with emphasis on representations. A good knowledge of linear algebra (including eigenvalues, bilinear forms, euclidean spaces, and tensor products of vector spaces) is presupposed, as well as some acquaintance with the methods of abstract algebra. The first four chapters might well be read by a bright undergraduate; however, the remaining three chapters are admittedly a little more demanding. Besides being useful in many parts of mathematics and physics, the theory of semisimple Lie algebras is inherently attractive, combining as it does a certain amount of depth and a satisfying degree of completeness in its basic results. Since Jacobson's book appeared a decade ago, improvements have been made even in the classical parts of the theory. I have tried to incor porate some of them here and to provide easier access to the subject for non-specialists. For the specialist, the following features should be noted: (I) The Jordan-Chevalley decomposition of linear transformations is emphasized, with "toral" subalgebras replacing the more traditional Cartan subalgebras in the semisimple case. (2) The conjugacy theorem for Cartan subalgebras is proved (following D. J. Winter and G. D. Mostow) by elementary Lie algebra methods, avoiding the use of algebraic geometry.
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Representations of Lie Algebras

An Introduction Through gln

Author: Anthony Henderson

Publisher: Cambridge University Press

ISBN: 1139561367

Category: Mathematics

Page: N.A

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This bold and refreshing approach to Lie algebras assumes only modest prerequisites (linear algebra up to the Jordan canonical form and a basic familiarity with groups and rings), yet it reaches a major result in representation theory: the highest-weight classification of irreducible modules of the general linear Lie algebra. The author's exposition is focused on this goal rather than aiming at the widest generality and emphasis is placed on explicit calculations with bases and matrices. The book begins with a motivating chapter explaining the context and relevance of Lie algebras and their representations and concludes with a guide to further reading. Numerous examples and exercises with full solutions are included. Based on the author's own introductory course on Lie algebras, this book has been thoroughly road-tested by advanced undergraduate and beginning graduate students and it is also suited to individual readers wanting an introduction to this important area of mathematics.
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Introduction to Lie Algebras and Representation Theory

Author: J.E. Humphreys

Publisher: Springer Science & Business Media

ISBN: 1461263980

Category: Mathematics

Page: 173

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This book is designed to introduce the reader to the theory of semisimple Lie algebras over an algebraically closed field of characteristic 0, with emphasis on representations. A good knowledge of linear algebra (including eigenvalues, bilinear forms, euclidean spaces, and tensor products of vector spaces) is presupposed, as well as some acquaintance with the methods of abstract algebra. The first four chapters might well be read by a bright undergraduate; however, the remaining three chapters are admittedly a little more demanding. Besides being useful in many parts of mathematics and physics, the theory of semisimple Lie algebras is inherently attractive, combining as it does a certain amount of depth and a satisfying degree of completeness in its basic results. Since Jacobson's book appeared a decade ago, improvements have been made even in the classical parts of the theory. I have tried to incor porate some of them here and to provide easier access to the subject for non-specialists. For the specialist, the following features should be noted: (I) The Jordan-Chevalley decomposition of linear transformations is emphasized, with "toral" subalgebras replacing the more traditional Cartan subalgebras in the semisimple case. (2) The conjugacy theorem for Cartan subalgebras is proved (following D. J. Winter and G. D. Mostow) by elementary Lie algebra methods, avoiding the use of algebraic geometry.
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Endliche Gruppen

Eine Einführung in die Theorie der endlichen Gruppen

Author: H. Kurzweil

Publisher: Springer-Verlag

ISBN: 3642953131

Category: Mathematics

Page: 190

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Representations of Compact Lie Groups

Author: T. Bröcker,T.tom Dieck

Publisher: Springer Science & Business Media

ISBN: 9783540136781

Category: Mathematics

Page: 316

View: 6890

This introduction to the representation theory of compact Lie groups follows Herman Weyl’s original approach. It discusses all aspects of finite-dimensional Lie theory, consistently emphasizing the groups themselves. Thus, the presentation is more geometric and analytic than algebraic. It is a useful reference and a source of explicit computations. Each section contains a range of exercises, and 24 figures help illustrate geometric concepts.
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Lie Groups Beyond an Introduction

Author: Anthony W. Knapp

Publisher: Springer Science & Business Media

ISBN: 9780817642594

Category: Mathematics

Page: 812

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This book takes the reader from the end of introductory Lie group theory to the threshold of infinite-dimensional group representations. Merging algebra and analysis throughout, the author uses Lie-theoretic methods to develop a beautiful theory having wide applications in mathematics and physics. The book initially shares insights that make use of actual matrices; it later relies on such structural features as properties of root systems.
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